প্রবাবিলিটি তত্ত্ব একটি গাণিতিক শাখা যা ঘটনাগুলির সম্ভাবনা পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি কিছু মৌলিক ভিত্তির উপর প্রতিষ্ঠিত, যেগুলোকে আয়তন বা axioms বলা হয়। এই আয়তনগুলো প্রবাবিলিটি তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করে এবং পরবর্তী জটিল ধারণাগুলি বিকাশে সহায়ক। রাশিয়ান গণিতবিদ আন্ড্রে কোলমোগরভ ১৯৩৩ সালে প্রবাবিলিটি তত্ত্বের এই আয়তনগুলো গঠন করেন। এই আয়তনগুলোই সম্ভবনা গণনা ও বৈধতার জন্য মূলনীতি প্রদান করে।
১. নন-নেগেটিভিটি আয়তন (Non-Negativity Axiom)
যে কোনো ঘটনা -এর জন্য, তার সম্ভাবনা নন-নেগেটিভ হবে। অর্থাৎ, কোনো ঘটনাটির সম্ভাবনা কখনোই শূন্যের কম হতে পারে না।
ব্যাখ্যা:
- এই আয়তনটি বলে যে, কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা শূন্যের কম হতে পারে না। এর মানে হল যে, কোনো ঘটনা ঘটার জন্য নেগেটিভ প্রবাবিলিটি থাকবে না।
উদাহরণ:
একটি সাধারণ পাথরের উপরে "৬" রোল করার সম্ভাবনা হল , যা একটি নন-নেগেটিভ মান।
২. নর্মালাইজেশন আয়তন (Normalization Axiom)
পুরো স্যাম্পল স্পেসের (সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সমষ্টি) সম্ভাবনা ১ হবে। অর্থাৎ, সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাবনা যোগফলে ১ হবে।
যেখানে হল স্যাম্পল স্পেস, যা একটি পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফলকে প্রতিনিধিত্ব করে।
ব্যাখ্যা:
- এই আয়তনটি বলে যে, স্যাম্পল স্পেসের মোট সম্ভাবনা ১ হবে, অর্থাৎ, একটি পরীক্ষার সব ফলাফল ঘটবে এবং তাদের যোগফল ১ হবে।
উদাহরণ:
যদি একটি সাধারণ ছয়পৃষ্ঠী তাসের ডাইস ব্যবহার করা হয়, যেখানে , তবে:
এবং এটি নিশ্চিত করতে, প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাবনা হবে।
৩. অ্যাডিটিভিটি আয়তন (Additivity Axiom)
যে দুটি ঘটনা এবং পরস্পর পরিপূরক (mutually exclusive) নয়, তাদের সংযোগের সম্ভাবনা হলো তাদের পৃথক পৃথক সম্ভাবনার যোগফল।
এখানে হল এমন একটি ঘটনা, যেখানে বা অথবা ঘটবে।
ব্যাখ্যা:
- এই আয়তনটি বলে যে, যদি দুটি ঘটনা একে অপরের সাথে সংঘর্ষ না করে (অর্থাৎ পরিপূরক না হয়), তবে তাদের একত্রিত হওয়ার সম্ভাবনা দুটি ঘটনার পৃথক পৃথক সম্ভাবনার যোগফল হবে।
উদাহরণ:
একটি সাধারণ ডাইসে, ঘটনা "২ রোল করা" এবং ঘটনা "৪ রোল করা"। এগুলি পরিপূরক কারণ একসাথে তারা একই সময়ে ঘটতে পারে না। তবে, তাদের যোগফল হবে:
বহু ঘটনার জন্য প্রসারিতকরণ:
এই আয়তনগুলো আরও জটিল ঘটনার জন্য প্রসারিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একাধিক ঘটনা ঘটে, তবে অ্যাডিটিভিটি আয়তনটি ক্রমান্বয়ে প্রয়োগ করা যেতে পারে। তবে, যদি ঘটনা পরিপূরক না হয়, তবে ইন্ক্লুশন-এক্সক্লুশন নীতি ব্যবহার করে অতিরিক্ত যোগফল করতে হবে।
আয়তনগুলির মূল পয়েন্ট:
- নন-নেগেটিভিটি: সম্ভাবনা কখনোই নেতিবাচক হতে পারে না।
- নর্মালাইজেশন: সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলগুলির যোগফল ১ হবে।
- অ্যাডিটিভিটি: পরিপূরক ঘটনাগুলির সম্ভাবনা তাদের পৃথক পৃথক সম্ভাবনার যোগফল হবে।
এই আয়তনগুলো প্রবাবিলিটি তত্ত্বের গাণিতিক ভিত্তি প্রদান করে এবং পরবর্তী সময়ে অনেক জটিল প্রক্রিয়া, যেমন শর্তাধীন প্রবাবিলিটি, স্বাধীনতা এবং বন্টন গঠন করার জন্য প্রয়োজনীয়।
Read more
